prog4.lyx

#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
\lyxformat 544
\begin_document
\begin_header
\save_transient_properties true
\origin unavailable
\textclass article
\use_default_options true
\maintain_unincluded_children false
\language english
\language_package default
\inputencoding auto
\fontencoding global
\font_roman "default" "default"
\font_sans "default" "default"
\font_typewriter "default" "default"
\font_math "auto" "auto"
\font_default_family default
\use_non_tex_fonts false
\font_sc false
\font_osf false
\font_sf_scale 100 100
\font_tt_scale 100 100
\use_microtype false
\use_dash_ligatures true
\graphics default
\default_output_format default
\output_sync 0
\bibtex_command default
\index_command default
\paperfontsize default
\use_hyperref false
\papersize default
\use_geometry false
\use_package amsmath 1
\use_package amssymb 1
\use_package cancel 1
\use_package esint 1
\use_package mathdots 1
\use_package mathtools 1
\use_package mhchem 1
\use_package stackrel 1
\use_package stmaryrd 1
\use_package undertilde 1
\cite_engine basic
\cite_engine_type default
\use_bibtopic false
\use_indices false
\paperorientation portrait
\suppress_date false
\justification true
\use_refstyle 1
\use_minted 0
\index Index
\shortcut idx
\color #008000
\end_index
\secnumdepth 3
\tocdepth 3
\paragraph_separation indent
\paragraph_indentation default
\is_math_indent 0
\math_numbering_side default
\quotes_style english
\dynamic_quotes 0
\papercolumns 1
\papersides 1
\paperpagestyle default
\tracking_changes false
\output_changes false
\html_math_output 0
\html_css_as_file 0
\html_be_strict false
\end_header

\begin_body

\begin_layout Standard
Шредингер вывел свое релятивистское волновое уравнение, заметив, что гамильтониа
н 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

 и импульс 
\begin_inset Formula $\mathbf{p}$
\end_inset

 "электрона Лоренца" с массой 
\begin_inset Formula $m$
\end_inset

 и зарядом 
\begin_inset Formula $e$
\end_inset

, находящегося во внешнем векторном потенциале 
\begin_inset Formula $\text{\textbf{А}}$
\end_inset

 и кулоновском потенциале 
\begin_inset Formula $\phi$
\end_inset

 связаны следующим соотношением 
\begin_inset Formula $\left.^{1}\right)$
\end_inset


\begin_inset Formula 
\begin{equation}
0=(H+e\phi)^{2}-c^{2}(\boldsymbol{p}-e\boldsymbol{\text{\textbf{А}}}/c)^{2}-m^{2}c^{4}\label{eq:1.1.2}
\end{equation}

\end_inset

соотношения 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand eqref
reference "eq:1.1.2"
plural "false"
caps "false"
noprefix "false"

\end_inset

 де Бройля для 
\shape italic
свободной 
\shape default
частицы, представленной плоской волной 
\begin_inset Formula $\exp\{2\pi i(\boldsymbol{\kappa}\cdot\boldsymbol{x}-\nu t)\}$
\end_inset

, можно получить, если произвести отождествление 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\boldsymbol{p}=h\boldsymbol{k}\rightarrow-i\hbar\nabla,\qquad E=h\nu\rightarrow i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\label{eq:1.1.3}
\end{equation}

\end_inset

где 
\begin_inset Formula $\hbar-$
\end_inset

удобное обозначение (введенное Дираком) для 
\begin_inset Formula $h/2\pi$
\end_inset

.
 Исходя из чисто формально аналогии Шредингер предположил, что электрон
 во внешних полях 
\begin_inset Formula $\text{\textbf{А}}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\phi$
\end_inset

 должен описываться волновой функцией 
\begin_inset Formula $\psi(\boldsymbol{x},t)$
\end_inset

, удовлетворяющей уравнению, получаемому при помощи той же самой замены
 в 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand eqref
reference "eq:1.1.3"
plural "false"
caps "false"
noprefix "false"

\end_inset

:
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
0=\left[\left(i\hbar\frac{\partial}{\partial t}+e\phi\right)^{2}-c^{2}\left(-i\hbar+\frac{e\text{\textbf{А}}}{c}\right)^{2}-m^{2}c^{4}\right]\psi(\boldsymbol{x},t).\label{eq:1.1.4}
\end{equation}

\end_inset

В частности, для стационарных состояний в атоме водорода справедливы равенства
 
\begin_inset Formula $\text{\textbf{А}}=0$
\end_inset

 и 
\begin_inset Formula $\phi=e/\left(4\pi r\right).$
\end_inset

 Кроме того, в этом случае 
\begin_inset Formula $\psi$
\end_inset

 зависит от времени 
\begin_inset Formula $t$
\end_inset

 экспоненциально: 
\begin_inset Formula $\exp\left(-iEt/\hbar\right)$
\end_inset

.
 
\begin_inset Formula $\phi$
\end_inset

 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
0=\left[\left(E+\frac{e^{2}}{4\pi r}\right)^{2}-c^{2}\hbar^{2}\nabla^{2}-m^{2}c^{4}\right]\psi(\boldsymbol{x}).\label{eq:1.1.5}
\end{equation}

\end_inset

Решение уравнения 
\begin_inset CommandInset ref
LatexCommand eqref
reference "eq:1.1.5"
plural "false"
caps "false"
noprefix "false"

\end_inset

 с наложенными на них разумными граничными условиями, определяют уровни
 энергии 
\begin_inset Formula $\left[9\right]$
\end_inset

 
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
E=mc^{2}\left[1-\frac{\alpha^{2}}{2n^{2}}-\frac{\alpha^{4}}{2n^{4}}\left(\frac{n}{l+1/2}-\frac{3}{4}\right)+\dots\right]\label{eq:1.1.6}
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\end_body
\end_document